Durchmesser des Stammes


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Kippen wir den Baumstamm um \(90^\circ\), so kann ein Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung auf Bodenhöhe des Baumstammes gelegt werden. Der Rotationskörper eines Kegelstumpfes entsteht nun, indem die Seitenlinie \(s\) um die \(x\)-Achse rotiert.

Mithilfe der Geraden, die entlang der Seitenlinie \(s\) verläuft, kann der gesuchte Durchmesser bestimmt werden. Dazu benötigen wir zunächst die Gerade. Es gilt mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck und dem Achsenabschnitt \(r\)

\( \quad \begin{array}{ l c l } g(x) & = & m \cdot x + b \\[8pt] & = & -\frac{r-0{,}2}{1{,}3} \cdot x + r \\[8pt] & = & \frac{0{,}2-r}{1{,}3} \cdot x + r \\ \end{array} \)

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Über das Rotationsvolumen von \(0{,}17 \, m^3\) kann nun der Radius \(r\) auf Bodenhöhe bestimmt werden. Zuvor muss jedoch die Definition von \(r\) gelöscht werden, da wir diese Variable bereits verwendet haben.

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Der Radius \(r\) kann nicht negativ sein. Deshalb muss \(r=0{,}208019\) sein. Es ergibt sich die Gerade \(g\) mit

\( \quad g(x) = \frac{0{,}2-0{,}208019}{1{,}3} \cdot x + 0{,}208019 \)

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Wir definieren Funktion \(g\) und berechnen den Radius des Stammes in einer Höhe von \(15 \; m\).

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In einer Höhe von \(15 \; m\) hat der Stamm einen Radius von \(11{,}55 \; cm\) und damit einen Durchmesser von \(23{,}1 \; cm\).

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